====================================== 「カッシーニ001」カッシーニぜろぜろいち Cassini Ver0.01 極座標系で表現した楕円と双曲線およびレ ミニスケートとカッシーニの卵形線について の若干の考察 CopyRight Miyama. 2010 oct-2011 oct http://www.geocities.jp/kaz_kimijima kaz_kimijima@yahoo.co.jp ====================================== 概要 使用許可条件 免責 動作可能条件 ファイル 操作方法 理論解説 後書き ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ・概要 このアーカイブパッケージは初等数学に関 する習作としての小論文です ユーティリティではありません また説明されている事柄をある程度把握す るためには高校履修程度の数学的知識が必要 です 作者の十代はアポロからボイジャーに至る 宇宙開発競争の時代でした 当時は受験の競争も異常なまでに激化して いたので、勉学からの脅迫感とまた希望とし ての好奇心がない交ぜになっていた、焦りに 炒られつづけた青春時代でした（♪あとから、 ほのぼの、おもうもの） 現在のハイティーンの青年達には理解しが たい光景でしょうね 部活でも、勉強でも青臭いうちに一生懸命 やることはその人の財産になるとおもうので す この小論文にかかれた内容はそんな記憶の なかのひとつの青春の残骸です 専門家の目から見ればささいな試行なのか もしれませんが、自分の中でかつて小さく実 った当時の自分としては不思議な果実のよう なものでした あとからおもえば、直接には生活や利益に は役立たないものであるにせよ、学問や学ぶ ことの楽しみとは、他人から採点されるもの ではなく、 どんなに小さくとも自分の菜園で野菜が実 ればうれしい、という感覚とおなじものだと おもいます 血の通った普通の人間であれば、よっぽど の怠け者でないかぎり、我が子はかわいいも のでしょうし、また 他人からどんなに言われようとも、自分で 創意工夫してつかみとったことはなかなかわ すれないと言う意味で真にそれをした子供の 財産になります 一般化という概念の危険は、彼我をすりか えることによって愛情や個性を放棄する原因 になりかねません すべてをチケット化して売買をもくろむ証 券の悪しき反面は、無知や無垢に対して焦り をあおり、現金や世俗の短期的な利益をちら つかせます その意味で、かつての受験競争というもの は現象として、証券バブルにそっくりです 過ぎ去った時代としての受験勉強の不幸と いうのはよくもわるくもその異常な競争率で した 八百屋のあととりや腕のよい仕立て屋にか ならずしも高等数学の知識が必要ないように、 それゆえにたとえば高等学校は義務教育では ないのです しかし官僚や大企業に就職することが雰囲 気としてなにかいいもののように思えた結果、 親御さんは無理に子供にたとえば数学を教え こもうとしました ご本人は数学なんかみるのもいやにもかか わらず、です これは、戦後現象でしょうね 働く、ということがどういうことか、暗黙 知的にわかっている健康な男親は、過剰な知 識と言うものがかえって社会に出る時にはか えって邪魔になることがわかっていたからこ そ、かつては子供にあまり勉強しろとは言い ませんでした それよりも衣食住のなかに結局は世間の需 要としての仕事の原点があるとわかっていた からこそ、一昔前は勉強しなさい、ではなく、 親の口癖は「お手伝いしなさい」、だったも のです ひとつには、世の中が豊かになって親御さ んが必死に働かなくても済むようになり子供 さんの将来に関心を払うゆとりがうまれたこ とと、 また、戦後の自由化に伴って「スポック博 士」が上陸したために親御さんが子供に異常 な期待をかける現象が発生したことです 子供の可能性は確かに無限ですが、世界の パイには限界があります 子供に無責任な祝福を注ぎ込みつづけると、 その子はレギュラーや連載の椅子にうぬぼれ を持ってしがみつづけるがゆえに、うらまれ るようになるでしょう これは次世代の紛争の種子になります おそらく中国の成長に陰りが見えたとき、 一人っ子政策が治安の悪化を加速するわがま まとして機能する危険があることとおなじこ とです ですから大変なことですが、中国は永遠に 豊かな国であることを維持しなければならな いのです スポック博士自身がどのような思考をもっ ていたかどうかは、厳密にはしる由もありま せんが、少なくとも社会現象としてのそれは あたかも世界の資源が無限で、経済の成長が 無限に可能であるような無責任な楽観主義と して受け入れられたような気がしてなりませ ん うらまれることを回避する処世術とは、ど ちらかといえば知識の教養ではありません たとえば先人の記録として人生訓の参考の ために歴史を知ることは有用ですが、それは 過剰な年号の暗記ではかならずしもあります まい 競争率が暴騰すると、受験生を整理するた めに足きり問題のような純真な心にたいして はいらやしいシステムが出来上がりますが、 それは逆に次の世代の国民に勉学のアレルギ ーを負け犬心理として植え付けることにしか なりません これは、事実上教育のバブル的な制度破綻 でしたが、 当時の過ちが反動となって現在の全然勉強 しない世代が生まれてしまいました フランス革命であれば、当時の責任世代は、 テルミドール反動で安田講堂で見せしめにさ れるでしょう 「共和国政府に、役に立たない学問と教師は いらない！！」とか。 そういえば、受験競争は学生運動のあとに はじまったのでした 主体的に学ぶことというのは、「どうして だろう？」とおもうことがもっとも大事で、 疑問に想うことにたいして周囲の大人たちが 充分なこたえをあたえてくれなかったとき、 はじめて子供は手を変え品を変え探索と冒険 の試みをすることになるのです 厳密には前者と後者は違うかもしれません が、それは地下水脈としてなつかしい言葉と していわゆる「異議申し立て」という心理と つながっていると想うのです もちろん、なんでもかんでも反対、という のは交代したあと能力として維持できない無 責任を棚に上げた甘えであったことは、つい 昨日の歴史が証明してしまいましたが、 それとは別にそのような主体的なここでは 前に上げた二種類の疑問を子供たちがうしな った、あるいは環境として教えられることが 乏しくなった時代が来たからこそ、 子供が主体的にたしかめてもいない知識を 洪水のようにおしこめられる教育が始まった のです 教育地獄が始まった時代と勤労にいわゆる サラリーマンの業態が増えたことが、時代と して相関しているのは その意味で偶然ではないと想います リアルからの距離が、遠くなったというこ とでしょうか。 一つだけたしかなことは、サラリーマン社 会の経済が深刻な不況に崩壊したことは、 勤労がまた再びリアルの姿に回帰せざるを 得ないということを示しているような気がし てなりません 油や泥にまみれたり、潮水や砂埃をかぶっ たり。 それはきついきたない仕事をやるべきだと いうことではかならずしもなくて リアルにまみれていなければ、人は経験や 業務を覚えることはできない、ということな のです サラリーマンの仕事と言うものは調達をふ くめた在庫管理と現場管理です その意味では、サラリーマンと言うものは 民間と言えどその業態は官僚なのです 人間のこころと言うものは弱いものなので そのような構図の力学にはどうしても年月が 経つとずるがしのびこみます ワンクッションおいた管理業務ゆえに、そ の本人には業務の熟練は決して身につかない と言うのに。 これでは世の中が悪くならないほうが不思 議です 以上、まなぶことをいやがるという教育の 破綻の背後にある、昭和の後期の世相につい てでした。 以下に述べる初等数学の小論文は、その骨 格は以上述べたようなことにはまだ想いも至 らないいまから約２０年前の筆者の勉強です これは受験勉強をしている前後に独自的な 関心で行った一種の試行錯誤としての演習問 題のようなものです 当時は、ああ数学っておもしろいんだなあ と素朴におもったものです こんなような寄り道ばっかりしていたので、 志望校には合格なぞできませんでしたが 以下の内容はたしかにまったく役に立たな いと言う意味では安田講堂でつるしあげられ るものですが、 第一次志望に合格できなかったということ といま自分は教職についていないと言うこと で、学生セクトの追及は逃れたいと想うこと にします 笑 ＝当時の筆者にとっての天文力学と数学＝ ここで取り上げられている概念としての楕 円とは天体力学上の惑星の楕円軌道です またそれは重力加速度作用の微分方程式を 解いて得られている楕円ではなく、 単に高校で履修する程度の幾何学上の楕円 です 当時の自分はいわゆる惑星の楕円軌道の式 をケプラーの面積速度の法則に演算適用でき るように変形できないかと四苦八苦していま した これはその過程で、楕円を直交座標で表現 するよりも極座標で表現したほうが演算が多 分楽にできるということを気が付いたことが そのアイデアの核にあります その後電算機で天体運動を表現する時は実 際には軌道要素から演算するよりも数値的に 微分積算したほうが有効なことがわかり、こ のアイデア自体は自分の中で観念として放っ ておかれたものです ですから今回のファイル自体は天文演算の 実用ツールとしてではけっしてなく、極座標 系での曲線の性質の検証と言う範囲にとどま っています 小論文にすぎない、という所以です 一般の方にとってはデスクトップ上の抽象 芸術のデモンステレーションとして受け止め ていただければ幸いです ささやかですがときどきドイツでやってい るテクノロジー美術展の様なものの範疇に属 するものかもしれません 思い上がって言えば、このようなうらに理 学的なリアルが確固として存在する美術・芸 術というようなものが、いわばおもちゃとし ての見世物として必要なのかもしれません 子供には本物をさわらせよ、というあれで す。私は、こどものころバタークリームのク リスマスケーキが嫌いでした 笑 大げさに言えばものごとに対する信頼感と いうものはそれがどれぐらい真実として信じ られるのかということに基づくのでしょう ここでは、哲学として生身の人間がどれだ け真実と言うものに肉薄できるのかという議 論はとりあえずおくことにしますが。 その意味では「六尺の大いたち」で人々を だましたりしては成りません。社会の活力を 奪います 役に立つか立たないかという工学での利用 価値とはまた別に、学問はあるいみ素朴な意 味でのみせものである必要があるのかもしれ ません それが真実を探求するものであるためには、 それを駆動する心に若さや誠実さがたたえら れている必要があります これは、機能として、社会の健康さに役立 つバランスになるでしょう もしそれがそれほど高価でない美術品のよ うな形を取っているのであればそれは社会の 需要としてそこにあるべきなのかもしれませ ん そうなるとそれは大量生産ではなく手工業 に近くなります ここでは熟練ということも技の真実にちか づくという意味とおなじなのかもしれません 言葉の意味として､芸術アート、というこ とですか 洋の東西を問わず信仰の拠点でもある名刹 に美術品が集まるのは多分心理的にはそうい うことなのでしょう 宗教と学問ということは、真実をもとめあ じわうと言うその動機においては、まったく おなじものです ＪＲ東海 ←笑 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー このプログラムは実行ファイルを通じて数 学的実験を実現しまたその解説をHTMLドキュ メントで表現するものです ・使用許認可条件 フリーウェアです 使用配布にあたっての制限はありません ・免責 作者はこのソフトウェアおよびアーカイブ を使用して生じたあらゆる不利益不具合に何 ら責任を負いません ・機械動作条件 ウィンドウズマシンでのみ動作しますマッ キントッシュでは動作しません ３．１を除く９５からwin７までのマシン で動作しますが 別途VISIALBASIC６．０の動作ランタイム が必要なことがあります その場合はMSのサイトなどから別途ご用意 ください 機械環境としてランタイムライブラリが必 要ない場合は実行ファイルをワンクリックす るだけで動作するはずです また９５などの古いWINDOWSではごくまれ にVB6ランタイムをインストールすると一部 の既存のアプリケーションが動作しなくなる ことがあります ランタイムインストールは各自の責任にお いてのみ行うようにしてください HTMLドキュメントの閲覧にはインターネッ トエクスプローラ３．０以上が必要です ・ファイル ZIP形式のアーカイブを解凍すると以下の ファイルが出てきます ReadCass.txt テキスト形式のreadmeです ReadCass.htm 上記のファイルと内容は同 一です ハイパーテキストとして説明の画像を参 照しています *.jpg HTMLファイルが参照している画像で すHTMLファイルとおなじフォルダに置いて ください Cassini1.exe 数学試行を表示させる実行 ファイルです Csssini1.txt 実行ファイルのソースコード です 論理挙動を確認したい場合の参考用です ・操作方法 実行ファイルをクリックすると次の画面が 表示されます -----------------------------------------------------------_[]X [数学グラフ表示窓] ズ グラフ色彩選択 終了ボタン 値値 ｜ 画面リセットボタンスス ム 画面マウス位置表示x 値入力窓a値 ララ ス 表示y 値入力窓f値 イイ ラ ダダ イ グラフ点を微小線で結線するチェック ｜｜ ダ a f ｜ 楕円双曲線選択チェック 値値 楕円双曲線式操作表示部 楕円双曲線描画実行ボタン カッシーニ卵形線選択チェック 虚数要素線分描画許可チェック カッシーニ卵形線描画実行ボタン レミニスケートおよび関連双曲線選択チェック その要素操作部・実行ボタン --------------------------------------------------------------- 操作部分の詳細 ＝値入力、値表示窓＝ ＊現在の画面のマウスのいる位置 マウスで示された数値空間のxy値を表示し ます 楕円や双曲線などの焦点や特異点の位置を 把握できます ＊a値f値入力窓 楕円双曲線における和定数差分定数 およびカッシーニ線における積定数をaと し 楕円双曲線における二焦点およびカッシ ーニ線における二基準点間の距離の半分の 値をfとしたときの 入力窓です この値は画面右側の値スライダーと相互 にリンクします 値入力窓はこの二箇所のみです -------------------------------------- ＝方程式操作窓＝ 以下の操作部領域はボタン操作になります それぞれの操作部のgoXXボタンを押し下す と自動的に関数の区分がされて、 a値f値が必要な場合はその数値を読み込ん でグラフを描画します 一度関数の選択がなされると次に異なる選 択ボタンを押すまでその選択は記憶されます なお選択区分のレ点チェックボックスは表 示のみです ここから設定の変更はできません また以下の操作方法の表現で[]部分は操作 変更ボタンを意味しそのクリック操作で選択 内容が反転します -------------------------------------- ＊楕円と双曲線の操作窓 a^2-f^2 r= --------------------------------- [+/-]a [+/-] f* [cos/sin theta] goOvalボタンで演算して描画します 分母成分のa値、f値、および 分子a^2-f^2部分は値が演算されて表示さ れます 画面の中心がかならず一方の焦点として描 画されます -------------------------------------- ＊カッシーニの卵形線の操作窓 ２基準点は画面の中心から左右等距離に置 かれます 演算代入される数値a値F値は表示上方程式 上には表示されません プラスマイナスおよびSinCosの切り替えボ タンはありません goCassiniボタンで描画します ともに数値項が入力値および値スライダー で表示された値に演算表示されます 虚数要素線分描画許可チェックについて このReadMEの後半で述べますが、プログラ ムがこの式をグラフに描画するにあたり、中 間変数を平方根に展開するところがあります 普通、中間変数が正の値でなければ平方の 根は取れませんが、試験段階ではその絶対値 を取って強制的に根を取得してテストをして いました その状態では虚数になるべき答えが実数と して出力されています 起動時はこのチェックはオフになっていま すので、普通に教科書どおりの卵形線が表示 されますが、要素点の結線において第一起点 と最終基点の線分結線が綺麗に処理されてい ません もし気になる場合は、楕円双曲線メニュー の上にある点を線で結ぶチェックボックスを オフにしてください ＊直角双曲線とレミニスケートの操作窓 正値状態と逆数の切り替え それにSinCosの切り替えボタンがあります これらは値一定の特種解方程式のあつかい なので入力数値は固定されています 外部から操作は出来ません goReminisで描画します ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＊SinCos切り替えボタンについて 高校で履修する三角関数の定義では、 CosとSinは互いに位相が９０度：パイ/2ラジ アンずれた関係になっています 極座標系では、三角関数の位相のずれは、 そのまま図形の回転変換を意味し、三角関数 の項が周期１倍の設定にとどまるとき、９０ 度の位相のずれは、直交座標系における１正 元文の回転変換に相当します 理論解説の 3-3 の章参照 直角双曲線レミニスケートの項では、 もともとの角度条件が二倍されて処理され ていますので 条件周波数が圧縮されて、 図形周期とSinCos象元回転がそれぞれ、二 倍と二分の一になっています ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＝スライダー＝ ＊a値f値用スライダーについて 画面右側のスライダーは左が設定定数a 右側が基準二点間距離の半分の値fを操作し ます スライダーを動かすと現在選択されている 方程式演算設定の条件でa値f値を変化させた 再描画を行います 直角双曲線とレミニスケートの項はスライ ダーを動かしても図形は変わりません この関数項は変数の外部操作が可能な設定 になっていないためです ＊ズームのスライダーについて 操作していただくとわかりますが、画面の 範囲を拡大縮小します だいたいの範囲はマウスで矢印を指定して やればその座標値が左の該当窓に示されます ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＝その他＝ ＊ 画面消去ボタン グラフを消去します 各設定は保持されます ＊ 終了ボタン プログラムを終了します ＊ 色彩選択ラジオオプションボタン グラフ線の色彩を選択します なお、すべての設定はプログラムを終了す る際にすべて失われます また、プログラム画面は、拡大縮小はでき ません だいたいの大きさはノートパソコンの画面、 ８００掛け６００ドットを想定をしてデザイ ンされています -------------------------------------- カッシーニの卵形線のグラフ描画は本来の 卵形線以外の解曲線も描画されますが これは定義を方程式に展開して演算するに あたり、正接関数の二乗を平方根化するその 過程で、いわば虚数解部分が実数化されてし まったものだと想われます -------------------------------------- ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ・理論解説 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 以下は概要としての前書きにも書きました ことでもあります ふりかえるとそれはいまからおおよそ２５ 年前ごろに成ります 当時はまだベルリンの壁が崩壊しておらず、 時代はまだ冷戦のさなかでした 冷戦ということは、熱い戦争からまだ何十 年も経過していたわけではなく、現在２１世 紀初頭の閉塞感からは想像し難い熱い時代だ ったような気がします 事実上半分は軍需産業であった工業による 豊かさとそれがもたらす消費文化、そして世 論やニュースとして流れてくる平和運動や民 族問題環境問題というものが野球や大相撲の 同時代性と交錯しながらみなが帰宅を急いで いた時代でした （時事として余談ですが相撲の八百長問題は やや過剰反応のような気がします かならずしもよいことではないことはもち ろんですが一昔前はこのようなことは問題に なりませんでした 薬物問題は確かに法律違反ですから事件性 は問題にされなくてはいけませんが情の点数 のやり取りも、相撲のルールのうちだ、とな ぜ主張してはいけないのでしょうか 日和見サラリーマン世代が万事、沈黙を美 徳と勘違いしたおかげで、非常時大連立のあ かつきには、おそらく日本版ドイツ社会民主 党の中から、合法的に独裁者がでることにな るでしょう 日本とドイツとでは、鍵十字のむきが逆で すが） 景気に参加することとニュースを共有する ことがいわば市民の義務であり権利でもあっ た時代です 積極的に引きこもりを加速するＶＨＳや個 人ゲーム機などは存在していませんでした 今では広帯域により闇に連結された子供部 屋が社会の裏側の卑怯となりつつある時代の ようですね 当時は平和運動と国際友好の一環として宇 宙開発はいわば「耳障りのよい」話題でした 軍事技術のスピンオフである宇宙技術を使 って天文探査や共同探検を行うことは 軍事複合体の雇用を維持しつつ、軍事費の 暴走を阻止するデタントの一環として東西両 陣営でもある程度考慮されていた項目であっ たのかな、と大人になって今考えることがで きます 当時は正義という便利な観念を持ち出して、 空想宇宙映画を描けばそこそこ興行できた時 代だったような気がします そんななかこれも軍事技術であったゲーム 機の先祖にもなる電算機技術がこれも技術ス ピンオフとしてそろそろ工場や個人向けに製 作出荷され始めました そんな時代にコンピュータで天体力学を実 演してみたいと多くの子供達が夢想したこと は時代の趨勢として少なくはなかったことも むりからぬことだったような気がします 以下に述べる十代の数学的格闘はまだあつ い時代でもあった当時の受験競争とともに自 分の中でためされていたことでもありました 今振り返ると、みなが一生懸命あんなに努 力していたあの時代とはなんだったのかと否 定も肯定もできずになつかしく想います ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 以下は自分が学生時代に宇宙関係の数式に 関連することとしていくつか行った試験の演 算の結果です 自分は高校時代天文に興味がありおりしも 当時はNASA宇宙探査ブームがあり また当時は卓上コンピュータが普及し始め た時代でもありました 当時天文のシュミレーションを正規の天体 力学にしたがって電算機の上で実現できたら なと夢想していた生徒は少なくともわたしだ けではなかったはずです 以下に述べる事柄はそのような流れから見 ると副産物になりますが今のわたしにはそれ を 副産物にしか過ぎませんという言い方は出 来ないようです 大人になってふりかえってみれば試行錯誤 の際に何回も視点や考え方をいれかえてみた 結果に大げさに言えば新しくみえた地平はそ れはそれでひとつの重要な数学的な世界であ ったような気がします ただし、 私が概念としてちらと触れただけのこれら の数式や観念も厳密に言えばそれぞれの分野 で深い研究がなされているであろう 数学的一フィールドであるのはもちろんい うまでもないことでしょう その意味では多少恥ずかしい気分があるの は事実です この項目の流れでは学生時代に希望として 恣意した天文シュミレーションの実現ではな くその仮定で触れたいくつかの自分にとって のささやかな新発見としてのいくつかの数学 的概念の紹介を主な目的としてつづっていき ます もちろんこれらは専門の数学者の世界にと っては入門でしかないレベルであることはい うまでもありません それでもこのような表現の試みが無駄では ないであろうという風に感じる根拠は個々人 がその出発点や手に出来る知識をも含めた材 料が大抵の場合制限されているのも関わらず、 あくまでも自分の力で考えることが重要だ ろうと考えるからでもあります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 以下に論旨の目次を示します 具体項目の目次 ・1 直交座標と極座標 ・2 楕円と双曲線の描画法がその方程式に帰結する証明 ：直交座標系 2-1 描画法から直交座標方程式へ 楕円 2-2 描画法から直交座標方程式へ 双曲線 ・3 極座標における楕円と双曲線の方程式 3-1 描画法から極座標方程式へ 楕円 3-2 描画法から極座標方程式へ 双曲線 ：ともにプログラム上で描画のために使用 3-3 参考：SinとCosの位相の回転について ・4 単純反比例曲線としての双曲線と極座標での表現形式 ・4-1 反比例双曲線の逆数関数としてのベルヌーイのレミニスケート ・4-2 レミニスケートとカッシーニ卵形線/ともに直交座標式 ・4-3 卵形線の極座標式 ・4-3-1 卵形線を描画プログラムに適応させるための工夫 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 1 直交座標と極座標 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 高等学校では楕円や双曲線はxy直行平面上 の２次曲線として履修します 自分は天体運行の電算機上の模擬実験とし てケプラーの法則のいくつかを走らせること を考えていました 次にのべる事柄はそのようなことの結果的 な副産物の一条です ニュートン空間では運動質点を太陽のよう な運動重力中心に対してほとんどその質量を 無視できる場合 その運動の軌道は太陽をその焦点とする楕 円上を運動することが知識として知られてい ます ところが高校で履修する楕円とは原点を重 心としての中心とする楕円 x^2 y^2 ---- + ---- = 1 a^2 b^2 をまず学びます これは楕円とは円：つまり単位円 x^2 + y^2 = 1 を直交座標系に平行な向きに伸縮させて得ら れる図形としてまず概念理解させるいわば指 導の趣旨に沿った方向性なのでした 天文部に所属していた私はこれら直交座標 系における楕円の方程式をいわばすい星の楕 円軌道の電算シュミレーションに応用展開す ることに四苦八苦していました 高校生だったわたしはこれら楕円の定義方 程式がしめす定数長半径aと短半径bの値から 焦点の原点からの距離を求め その楕円の図形をx軸に平行移動し 原点と焦点が一致する楕円の方程式を求め たりして見ましたが これが実際に天体運動の 経過時間に対する天体位置を導く関数とし て利用できるかはその簡便性から言ってはな はだ疑問に感じていたものです 当時知っていた天体位置の時間を入力変数 とする関数の手がかりはケプラーの第二法則 面積速度一定の法則です 太陽を焦点とする楕円軌道を描く天体の移 動速度に関したもので その焦点と天体の運動位置が掃はする疑似 扇形の図形の面積はおなじ単位時間であれば その天体の運動位置が軌道のどこにあろうと 常におなじ値をとる というものです ケプラーの第二法則：面積速度一定の法則 概略図 つまり天体が遠日点付近にあれば焦点 ：ここでは系の重心であるところの太陽： からの距離は大きくなりますから 疑似扇図形の面積を一定にするためには運 動の焦点に対する角距離は小さく ：つまり絶対的な運動速度ベクトルは小さく なり また逆に天体が近日点付近にあれば運動角 距離は大きくなるので 近日点付近における天体の事実上の速度は もっとも大きくなることになります 今にして想えば大学の教養課程の数学の知 識があれば 絶対的に初期条件を微分方程式で与えてや れば 条件によっては比較的簡単にこの種の問題 は解けそうな気もしますが 本音をいえば今でもなお教養課程程度の数 学でさえ自分は理解しているとはいえないの です：余談 そんなとき直交座標ではなく極座標という 概念を学校の図書室で知りました 極座標の概念とはいわば地球の経緯度のよ うな概念として理解するとわかりやすいかも しれません 地球の赤道付近では緯度と経度がほとんど 等価なのできわめて局所的なスケールではそ れはＸ軸とＹ軸のように捕らえることga出来 ます しかしこれが南北それぞれの極地方にちか づくにつれ経緯度の概念は幾何学的に異なっ たものにものに変化します たとえば極端な例として北極点では全ての 方角が南であり そこでは北極点を一方の特異点として持つ 座標系が成立し そこでは：子午線からの地平線の周囲角と 極点からの距離のみが座標の決定としては意 味を持つことになります これこそが概念としての極座標です 直交座標と同様に極座標でもいくつかの単 純な方程式も図形を示します たとえば典型的な一次直線は 中心からの距離を変数r 基準子午線からの角度を変数thetaとすると r = theta という例で与えることが出来 これは薄い毛布を丸めたようなロールケー キのような断面に現れる螺旋を意味します 螺旋の腕の厚みが回転角に比例して穏やか に増加していく様は 螺旋にはさまれた空白域の幅が常におなじ であることを示し それは毛布のような布がおなじ厚みで巻き 取られていることを示しています 貝殻の断面のような螺旋は半径の増加率が 指数関数的に増加していくので極座標系にお ける数式も指数関数の成分を含みます 式は r = a^theta となります ^は階乗記号です 半径は回転とともに増加する条件ですから aは１よりも大きい実数になります また角度の負の方向の回転に関しては実数 が０に限りなく近づくことが可能なため thetaの負の方向の値は無限に大きくなる ことが可能です つまり負の方向へいくら回転してもこの螺 旋はけっして原点中心に到達することは出来 ません これはヤコビの対数螺旋と呼ばれます ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ここで天体問題では重力中心が焦点でもあ る楕円を極座標上で表したら力学演算上より 使い勝手が良い式が出来るのではないかと当 時の私は考えました ：前述の面積速度一定の法則を極座標系で展 開するとすればそれは極座標系における面積 積分の定義を定義することにこそ他なりませ ん 天体の軌道上における位置点をあたえられ れば極座標系における方程式の角位置で定義 し、経過時間を単位面積の倍数で入力として 表現すると 入力時間後の移動角距離は極座標系におけ る角に対する面積積分の逆演算として定義で きます 極座標系における面積積分の定積分は 古代ギリシアで行われていた円の円周率を 求める方法として微細な扇形を用いた区分求 積法の応用として記述できるでしょう ただしその項に対する詳細はこのパッケー ジにおける論旨に対しては傍系の議論になる のでその詳細について述べることはここでの アーカイブでは割愛します： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2 楕円と双曲線の描画法がその方程式に帰 結する証明 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 楕円を極座標の方程式として表現する場合 には古典的な楕円の描画法が単純に応用でき ると考えました 楕円の二焦点を二つの虫ピンで表現しその 焦点間をそれよりも長い糸で結びその糸に引 っ掛けた鉛筆で 絶えず糸をぴんと張った状態で鉛筆の先を 滑らすと楕円が描画できるという手法です この条件を極座標で表現するとすれば 変数rは一方の焦点から鉛筆の先までの距 離 変数thetaはその一方の焦点と鉛筆までの 糸線と二焦点を結ぶ基準線との角になります これは /２点からの距離の和が一定である点の集合 が楕円である/ という概念が定義として使用されているこ とにより可能な描画法です この定義が楕円をあらわしているかどうか を直交座標上で証明できます ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2-1描画法から直交座標方程式へ 楕円 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ２焦点から描画点までのふたつの線分の距 離をここでは媒介変数あつかいで p q とし ます p=((x-f)^2+y^2)^0.5 q=((x+f)^2+y^2)^0.5 このふたつで式１ ここで0.5乗と表現しているものは平方根 の便宜的な表現です またその値はここでは正の絶対値としま す 二つの虫ピンの中点を原点とし 二つの虫ピンがＸ軸上にあるものとすると 紐上にあるペンの芯から各虫ピンまでのそれ ぞれの距離pqは以上のように表わされます ここで定数fは虫ピンの原点からの距離 =焦点距離 :focusであります 描画法が示す条件は二点間からの距離の和 が一定ですから p + q = a aは定数 式２ と表現されます この定数aは楕円描画法における紐の合計 の長さを表します ------ 演算 式１を式２に代入して代数展開します ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ どちらかというと小器用な証明のほうが代 数展開は楽なのですが項pもqも数学的には等 価なのでここではふたつの項を対等に扱い力 業で代数演算してみます 左辺右辺とも自乗して p^2 + q^2 + 2pq = a^2 非二乗成分をくくりだすために移項 p^2 + q^2 - a^2 = -2pq 左辺を整理すると (p^2+q^2-a^2)= ((x-f)^2 + y^2 (x+f)^2 + y^2 -a^2)= 2(x^2 + y^2 + f^2 a^2 - ----) 2 以下便宜上 a^2 ---- = a^2/2 と表現します 2 ここで両辺を２で割り a^2 x^2 + y^2 + f^2 - ---- = -pq ----------*次の双曲線の項参照重要 2 さらに両辺を自乗 右辺の自乗は p^2*q^2= ((x-f)^2+y^2)((x+f)^2+y^2) = (x-f)^2*(x+f)^2 + 2(x^2-f^2)*y^2 +y^4 = (x^2-f^2)^2 + 2x^2*y^2 +2f^2y^2 +y^4 = x^4 + 2x^2y^2 f^4 + 2f^2y^2 -2f^2x^2 + y^4 左辺の自乗は ((x^2+y^2)+(f^2-a^2/2))^2= x^4 +(f^2-a^2/2)^2 + 2(f^2-a^2/2)x^2 y^4 + 2(f^2-a^2/2)y^2 +2x^2*y^2 ------------------- ここで一致項をチェックして除去 除去の該当項にはDELがついています 右辺= x^4 DEL + 2x^2y^2 DEL f^4 + 2f^2y^2 -2f^2x^2 + y^4 DEL 左辺= ((x^2+y^2)+(f^2-a^2/2))^2 = x^4 DEL +(f^2-a^2/2)^2 + 2(f^2-a^2/2)x^2 y^4 DEL + 2(f^2-a^2/2)y^2 +2x^2*y^2 DEL ------ 変数4乗項 x^4, y^4, x^2y^2 は自然排除され 左辺と右辺を結合し -f^4 DEL +|+2f^2|*x^2 +|-2f^2|*y^2 +f^4 DEL |+2f^2| |+2f^2| a^4/4 | | | | -f^2a^2 |-a^2 | |-a^2 | =0 a^2(f^2-a^2/4)=(4f^2-a^2)x^2 + (-a^2)y^2 となり x^2 y^2 ------ + ----------- = 1 ・・・＊3 a^2/4 a^2/4-f^2 となり楕円の形式に変形完了 ここで得られた等式を x^2 y^2 ---- + ---- = 1 A^2 B^2 という楕円の定義式に当てはめて 各定数を評価すると 長半径A =a/2 短半径B ____________ =/(a/2)^2-f^2 0 < b 0 < a ただし定数aもqも正であるような範囲に aもfも値を持っていなければならないことに なります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 2-2 描画法から直交座標方程式へ 双曲線 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ つぎは双曲線でその条件を展開します 差分が一定ですからp-q=aとし 同様に p^2+q^2-2pq=a^2 非二乗成分をくくりだし p^2+q^2-a^2=2pq x^2+(y+f)^2 x^2+(y-f)^2 -a^2 = 2[x^2+y^2+f^2-a^2/2]=2pq つまり a^2 x^2+y^2+f^2- ---- = +pq ------** 2 この結果は重要です 楕円のケースと同様に * も ** もそれぞれ自乗すると ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 左右辺の正負の符号が除去されておなじ数 式となってしまいます 以降は楕円と同じように整理され全くおな じ数式＊3にたどり着きます この場合の描画法の定義から ひものよすがである２定点である二つの虫 ピン点は ｘ軸上にありますから任意の正の定数をpq とすると この場合の楕円および双曲線の共通方程式 は x^2 y^2 ---- +ないし- ---- = 1 ----*4 A^2 B^2 となります ここで共通方程式＊3をこの数式*4で評価 した場合 0 < aでありまた便宜上0 < Aとすると a値は A=a/2となってこれは楕円双曲共通ですが 問題なのはy^2項成分です B^2 はつねに正ですから 楕円と双曲線の定義より B^2=+a^2/4-f^2 が楕円 B^2=-a^2/4+f^2 が双曲線になります B^2の値は実数の自乗で常に正ですから、 つまり a^2/4-f^2の値が 正 楕円 負 双曲線 であることになります 数式＊3はその介在の変数をaとfとし ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ これは正の実数aとfに関する恒等式ですか ら 項a^2/4-f^2を便宜的に条件項と呼んだ時 この条件項は正負の実数であります ここで条件項 a^2/4 - f^2であり またaもfも絶対値扱いで正とすると 0 < a^2/4 - f^2 すなわち f^2 < a^2/4 つまり f< a/2 のとき楕円 a^2/4 - f^2 < 0 すなわち a^2/4 < f^2 つまり a/2 < fのとき双曲線 となります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3 極座標に置ける楕円 双曲線の方程式 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 楕円を極座標系であらわすときは 楕円の中心を原点にもつよりも 楕円の焦点を原点に据えたほうが定義を素 直に展開できます ここでは楕円や双曲線の長軸方向を画面の 左右にみて 左側の焦点を原点にもつ幾何と式を 一番 右側の焦点を原点にもつ幾何と式を 二番 とします 双曲線はそれがX軸と交わるX^2-Y^2=1形 式の双曲線を対象にします 極座標系でこれらの幾何関係を数式に表現 するためには 入力変数thetaと出力変数rだけで構成され た変動幾何三角だけを対象にしていては定義 に参加している全ての変数を包含することは できません 考え方の基本は 三角関数で定義された変動幾何三角の辺成 分 r * cos thetaと r * sin theta を使用し 定義によって参照できるほかの直角幾何三 角で他の変数を包含した数式を導き出しまた その等式を整理することにあります HTML文書によって参照される画像の説明上 ではrとthetaによって直接参照される基本幾 何三角形を水色、他の変数を含んだ形で目的 の方程式を求めるための代数演算に利用され る三角形をピンクで表しています 三角形が見かけ上重なって見える場所は混 色のパープルで表現してあります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3-1 描画法から極座標方程式へ 楕円 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 楕円左焦点１番
/|\ / | \ / | \ r / | \ 2a-r / |r*sin theta / | \ theta/ | \ ---------------- r*cos theta 2f-r*cos theta ピタゴラスの定義により (2a-r)^2 = (2f-r*cos theta)^2 + r^2 * sin^2 theta 4a^2 + = 4f^2 + r^2 + r^2 * cos^2 theta + r^2 * sin^2 theta -4ar -4rf*cos theta すなわち a^2 = f^2 -ar -rf*cos theta a^2-f^2=r(a-f*cos theta) よって a^2-f^2 r= -------------- a-f*cos theta 楕円右焦点２番
//| / / | / / | 2a-r / r/ | / / |r*+sin theta / / | / /theta | ---------------- 2f r*cos theta 同じくピタゴラスの定義により (2a-r)^2=(2f+r*cos theta)^2 + r^2*sin^2 theta a^2 = f^2 -ar +rf*cos theta a^2-f^2 r= --------------- a+f*cos theta ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3-2 描画法から極座標方程式へ 双曲線 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 双曲線左焦点１番
/|\ / | \ / | \ r / | \ 2a+r / |r*sin theta / | \ theta/ | \ ----------------- r*cos theta 2f-r*cos theta ピタゴラスの定理により (2a+r)^2 = (2f-r*cos theta)^2 + r^2 * sin^2 theta 4a^2 + = 4f^2 + r^2 + r^2 * cos^2 theta + r^2 * sin^2 theta +4ar -4rf*cos theta a^2 = f^2 +ar -rf*cos theta a^2-f^2=r(-a-f*cos theta) a^2-f^2 r= --------------- -a-f*cos theta 双曲線右焦点２番
//| / / | / / | 2a+r / r/ | / / |r*+sin theta / / | / /theta | ---------------- 2f r*cos theta ピタゴラスの定理により (2a+r)^2=(2f+r*cos theta)^2 + r^2*sin^2 theta a^2 = f^2 +ar +rf*cos theta a^2-f^2 r= ---------------- -a+f*cos theta ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ここで楕円も双曲線も似た骨格の極座標方 程式として表現されうることがわかりました 一般的に a^2-f^2 r= ------------------------------ +or- a + or- f*cos theta と表現されるとおもいます なお、ここでの証明はたとえば楕円におい ては左右の両焦点を極座標の中心点に取るか で極座標の方程式の表現が異なることを意味 しています 曲線の外形が全く同一でも、焦点を左右ど ちらに取るかで、方程式の形式が微妙に異な ることを意味します ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 3-3 参考：SinとCosの位相の回転について ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ また、初等幾何で教わるとおり、三角関数 SinはCosの９０度＝パイ/2ラジアン分位相が ずれた値を示しますから、上記の一般式の CosをSinで置換しますと、 次の図の楕円の例のように、いわばもとも との図曲線をちょうど９０度回転させた図を 表現します
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4 単純反比例曲線としての双曲線と 極座標での表現形式 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 概念としての性質を調べるためにたとえば 長半径短半径を値１に統一した楕円や双曲線 を考えて見ます この場合の楕円はすなわち 半径１の円となり 極座標における演算元の性格を持ち調べて みても興味深い挙動は示さないようです
ただしいつくかの試行ののち双曲線のほう は特殊な条件で興味深い挙動を示すことが判 りました ここでは x^2 - y^2 = 1 や xy = 1 など単純な定数で定義された双曲線を考え て見ます これらはもちろん原点に対し左右対称な双 曲線ですからその焦点は原点ではありません この項の双曲線は前項の極座標表現におけ るそれとはこの点で異なります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4-1 反比例の双曲線 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 双曲線はX軸やY軸と直交するタイプのもの だけではありません たとえばいわゆる反比例の方程式 y = 1/x すなわち xy = 1 も双曲線ですこれが直交座標系での双曲線 x^2 - y^2 = 1 と相同であることを証明してみます 座標系は直交座標で演算します 極座標で考えればcossinの theta値にお ける単純位相移動で済むことが直交座標では 大仰な置換処理が必要なことを示すことで 逆に極座標系の演算における特異な性質を 示すことができるでしょう 図形の回転変換の概念を利用し 新座標xd yd系での xd軸と直交する双曲線 xd^2 - yd^2 = constant が角度正の方向へ４５度回転変換されたも のがxy座標系における方程式xy=1であると定 義します +45 の回転変換ですから行列を用いて表現し |x|=| cos45 -sin45||xd| |y| | sin45 cos45||yd| __ __ /2 /2*| 1 -1||xd| =/2/2|xd-yd| | 1 1||yd| = |xd+yd| という対応表になります これを対象式のxy=1に代入し xy = 1 = 1/2 *(xd-yd)(xd+yd) 積の公式により xd^2 yd^2 ---- - ---- = 1 2 2 ここまで出来れば座標系を区別する必要が 無いので xd=>x, yd=>y として x^2 y^2 --- - --- = 1 2 2 を得ます この式によると定義に用いた定数constant は値２になります 1/(1/2)=2 これで反比例の方程式も双曲線であること が示されました --------------------------------------- つぎにこれら二つを極座標表現に変換して みます この試行の目的はごく単純な双曲線が極座 標の世界でどのような表現で表されているか を知るためです たとえば単位円は極座標表現では r = 1 となってあまりにも単純なため歯ごたえの 意味では方程式とさえいえないかもしれませ ん これは直交座標系におけるx=yと同じよう な演算単位元のようなものです 単純な双曲線ではどうなるでしょうか 一般的に必ずしも利便性において万能では ありませんがxy直交座標の方程式を極座標系 に変換するためには以下の代入式を用います x=r * cos theta y=r * sin theta これを反比例双曲線 xy = 1 に代入すると r^2 * cos theta * sin theta = 1 倍角の公式を用いて 2cos theta * sin theta = sin 2theta すなわち cos theta * sin theta = sin 2theta /2 ですから r^2 = 2/sin 2theta と意外な簡便な表現に落ち着きました 次にもう一つのX軸との直交形式の双曲線 x^2 - y^2 = 2 をおなじように代入してみます 右辺の定数が２なのは反比例の双曲線とス ケールの意味でおなじ大きさに統一するため です r^2 * (cos^2 theta-sin^2 theta) = 2 ------------------------- この部分は= cos 2theta これもおなじように倍角式が成り立ち r^2 = 2/cos 2theta となります 元々の方程式を整頓して再処理すると 結果式の分子の２を除去できます xy = 1/2 と x^2 - y^2 = 1 は演算すると r^2= 1/sin 2theta , r^2= 1/cos 2theta ここまで演算して双曲線はともに二倍角三 角関数の逆数式であることがわかりました ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4-2 反比例双曲線の逆数関数としてのベ ルヌーイのレミニスケート ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ このような単純な式が双曲線を表すのであ れば右辺が逆数でない方程式も同じように単 純な図形をあらわすのではないだろうかとお もい演算を続けてみました 素朴な演算的事実として これら二つの双曲線は単位円r=1に接して います また極座標系では単位円の内側と外側では 乗法や累乗のそれが表現する幾何変換の方向 性の向きが変わります いわば極座標系ではこの半径１の単位円は あたかもブラックホールの事象の地平面＝シ ュバルツシルト半径のようなもので単位面の 内側の点は乗法や累乗ではけっして外側に出 ることができません これは演算としての乗法群は単位円の内側 において閉じた群であるといいます ともかく極座標系においては単位円の境界 は特種な演算元でありたとえば逆数変換は単 位面の外側の図形は単位面の内側に凹面鏡に 映った像のように写像されます このことはこの単位円の外側と内側で写像 において一対一の関係が成立するという意味 で円の内外で点の濃度が同一であるという表 現をカントールなどが開始した数学における 無限哲学の中では説明しているようです 壺中天が外界と実はおなじ大きさの世界で あるというハンバーグが大好きな魔法使いの 証言はこのことを示しているようです 個人的にはよく知りませんが微分積分から してそうであるように無限という概念は数学 のなかでは危険思想に近いのであまり理解し たくありません 最近まで知らなかったのですがアリストテ レスも同じような理由で無限の概念を嫌って いたようです この概念によって双曲線を単位円内側に写 像するとこれはどうも８の字によって表現さ れる曲線図形になりそうです
この図形は専門用語でいうところのベルヌ ーイのレミニスケートのように思えます これがレミニスケートであるかどうかをちょ っと演算してみます 手元に資料が無いので逐一代数をします ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4-2 レミニスケートとカッシーニ卵形線 ともに直交座標式の表現 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ レミニスケートはカッシーニの卵型線の特 種解なのでまず卵形線の一般式を定義により 求めたいとおもいます 卵形線は楕円に似た定義を持っています 任意の二点からの距離の積が一定の点の集 合からなる曲線を卵形線というという定義で す 基本点を楕円と同じようにX軸上に原点か ら等距離にある点を考え その原点からの距離をともにfとします fはここでは焦点ではありませんが統一を 取るためにf:focusとします 距離の積の定数も楕円と同じくaとします 二点からの距離をそれぞれpqとしますが演 算上今回は距離の２乗を単位として出発しま す p^2=(x-f)^2+y^2 q^2=(x+f)^2+y^2 p*q=a a:const この式を代入して p^2*q^2=a^2 移項して右辺をゼロにし (x+f)^2(x-f)^2 +2(x^2+f^2)y^2 +y^4 -a^2 = 0 ------------------ ---------------------------------- part 1 part 2 part 1 = | part 2 = | (x^2-f^2)^2 = | | x^4 + | 2x^2y^2 + f^4 + | 2f^2y^2 + y^4 - a^2 | -2f^2x^2 | ============= xとyをおなじ因数分解をして part 1+ part 2 = x^4 -2f^2x^2 + y^4 +2f^2y^2 + 2x^2y^2 +f^4-a^2=0 V V V (x^2+y^2)^2 -2f^2(x^2-y^2) +f^4-a^2=0 となります これがカッシーニの卵形線の一般式です ところでレミニスケートはその曲線が中央 で交わる８の字の交点が原点と一致しますの で 言い換えればレミニスケートは卵形線のう ち原点0,0で解を持つともいえます ここで原点p(0,0)であり 原点0,0を代入すると式の定数部分のみが残 り f^4-a^2=0 となります ここで 0 < f と 0 < a とし、 整理してf aともに便宜上正の値とすると a=f^2という関係になります ここから得られたレミニスケートの直交座 標における方程式を極座標形式に変換し 得られた方程式が極座標形式の双曲線を示 す式の「逆数の形式」になればよいことにな ります 演算上の便宜のため単純な形式の式を材料 にしたいのでここでf=1ととし (x^2+y^2)^2 - 2(x^2-y^2)=0 を導き これに極座標系における変換代入式で展開 すると x=r*cos theta y=r*sin theta でありますから r^4-r^2 * cos 2theta =0 ゆえに r^2=2cos 2theta となります もしもとのレミニスケートの定数を f=1/2と置くと得られる結果は分子の２がと れて (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)=0 ですから r^2=cos 2theta と成増 志村坂下（ともに板橋区） どうやら予想は的中したようです なおプログラムの操作方法、および項目 3-3でも言及しましたが、この項目の直角双 曲線およびレミニスケートは、Cosの項をSin に変換すると、その図形描画像は、原点を中 心に回転します 入力theta：θが二倍されていますので、 関数内部の周波数が倍化され、回転は都合９ ０度ではなく、４５度の変換に展開されます ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4-3 卵形線の極座標式 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ カッシーニの卵形線をPCのグラフィックで 表そうと試みた場合それはある種の困難に出 くわすことに気が付きました カッシーニの卵形線は直交座標系の中では xy変数ともに複雑に絡み合っていて、それは たがいがたがいの関数として表現するのが難 しいのです モンテカルロ法のような不等式条件でペイ ント領域の違い：マンデルブローアートでよ くみられる色分け：として表現することはで きるのかもしれませんが それは現行の試行から言っていささか工夫 が足りないような思えました そこでやはり極座標の形式を利用して左右 対称の図形の対象性をxyの対象性に還元して その関係をうまく消化できないかと考えたの です もととなるのは前の章で得られたxy座標系 での方程式を使いました (x^2+y^2)^2-2f^2(x^2-y^2)+f^4-a^2=0 これを元にして、 極座標と直交座標の変換によく用いられる 以下の二つの小さな関係式を用い、 x=r*cos theta y=r*sin theta 三角関数の法則を利用して展開してみます x^2+y^2= r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) =r^2 であり x^2-y^2= r^2(cos^2 theta-sin^2 theta) = r^2 * cos 2theta ですから 意外に三角関数の部分が簡単に整理されて r^4 - r^2*f^2*cos 2 theta +f^4-a^2=0 となりました これでも試行答案としてはありなのかもし れないと想いましたが PC描画の実際上はこれではまだ不適切です なぜならまだ中心距離rも基準線からの角 thetaも互いに関数の形になっていないから です 何故関数であることが重要なのかというと、 （普通の意味でのエントリーマシン、普通の 人が初めてふれるＰＣが事実上ＷＩＮＤＯＷ Ｓマシンであるのが当り前になっているこの 時代、大抵の人がそのＷＩＮＤＯＷＳマシン でプログラミングしたり、数学計算を「でき ない」時代が現代です ＷＩＮＤＯＷＳやＧＵＩＯＳの時代という ものはある特定の目的にＰＣは特化していま すが、システム周りやプログラミング作業に 一般の人が興味をもつことを事実上拒絶して います その原因はＯＳが高度に巨大化かつ複雑化 した結果なのですが、それはいわゆる計算機 科学自体の豊かさにとっては、ユーザが研究 者の分野に参入することを拒否しているとい う意味で、それは不毛の意味で、哀しいこと です） たとえばＤＯＳ時代に数学グラフィックプ ログラミングで遊んだ人にとっては自明なの かもしれませんが、 普通、PC上の数学グラフィックにとっては、 s=f(t)という関数の形になっていたほうが、 単純ループ処理が仕えるので、コードを簡潔 に記述できるからです （これは、かならずしも直交座標関数形式 である必要はありません） 関数形式ではない場合でも、モンテカルロ 法など、描画は全く不可能ではありませんが、 プログラムはやはり若干複雑になります ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 4-3-1 プログラム上のカッシーニの卵形 線の描画における工夫について ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 前項で得られた卵形線の式をながめていま すと、変数rは二回、変数thetaは一回でてい ます rの共通項で上手に因数分解しようとして も式がやや定義的に複雑すぎ、 どうも変数rを、 入力をthetaとする出力関数 r=f(theta) のかたちに変形することは難しいようです ここではrを元に角thetaを出力にできない か試してみました 結果として得られた結論のアウトラインを 以下に書きます -------------------------------------- １ カッシーニの卵形線を極座標形式に変 換し、それをcos 2theta=F(ｒ)の形式にす る ２ cos 2thetaからタンジェントの二乗 tan^2 thetaを導く ３ tan^2 thetaの平方根をとり tan thetaを導く ４ tan thetaの値から、逆正接関数ア ークタンジェント（ＰＣ、ここではVisual Basic内で用意されています）を用い、 thetaの値を得ます ５ このプロセスで得られた関数を用い、 入力変数をｒ、 出力関数をtheta とするプログラムループを作成し、カッシ ーニの卵形線を描画します イメージとしては、レーダーのような半 径がことなる同心円状にそれぞれの円殻の 半径の関数として、中心点からの座標角が 定められることになります -------------------------------------- １ 関数、cos2theta ＝ F(ｒ)の作成 -------------------------------------- 三角関数の項を右側に括りだし r^4+f^4-a^2 = r^2 *f^2 cos 2theta 無理矢理にr成分を移動させます r^2 f^4-a^2 cos 2theta = ---- + ------- ------＊A f^2 f^2*r^2 -------------------------------------- ２ cos2thetaから tan^2 thetaを誘導 -------------------------------------- この右側の項の値に逆三角関数をかぶせれ ばtheta値の項が得られます 普通PCに用意されているものは逆正接関数 アークタンジェントなのでこの式をタンジェ ントの関数に変形してみます タンジェントの定義により sin theta --------- =tan theta cos theta ですからさらに sin^2 ------ = tan^2 cos^2 この条件は三角関数の倍角の公式を用いる とcos 2thetaの関数に変形できます 倍角の公式は cos 2theta =cos^2 theta - sin^2 theta であり またピタゴラスおよび三角関数の定義により 1=cos^2 theta + sin^2 theta ですから これをもちいてsinとcosの２乗項を表現し cos 2theta= cos^2 theta - sin^2 theta cos^2 theta -(1-cos^2 theta) 2cos^2 theta -1 ゆえに cos^2 theta= (1+cos 2theta)/2 また cos 2theta = cos^2 theta - sin^2 theta (1-sin^2 theta)-sin^2 theta 1-2sin^2 theta ゆえに sin^2 theta = (1-cos 2theta)/2 これをタンジェントにあたえ、次の関係を得ます 1-cos 2theta tan^2 theta =------------- ------*B 1+cos 2theta -------------------------------------- ３ tan^2 theta からtan theta作成 -------------------------------------- 式Bの値を平方根とし、 -------------------------------------- ４ 逆正接関数でthetaの値を得ます -------------------------------------- 具体的には PCの内部でr値を入力変数ループにし、 式Aを用いて中間変数cos2thetaを得、 式Bを用いてタンジェントの二乗値を得 平方根化したあと、逆正接にかけて thetaをラジアンとして得ています 本当はもっとととうまいやり方があるのか もしれませんが 今回はこの論理で描画を実装しました この方法で描画すると、おそらく二乗値か ら平方根化する過程で、虚数解が実体化して しまいますので、画面では本来の卵形線の解 曲線以外の線も描画されてしまいます：プロ グラム仕様の項参照 ------------------------------------- ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 後書き ほんとうはこのプログラムをある故まんが 家さんにささげたいとおもっていました このプログラムはなんだかんだ草案を書き 上げてから上梓まで１年が経ってしまいまし た 名前を出せば誰でも知っているあのひとで す 戦中派焼け跡派のクリエイターや作家氏は このくにの行方を心配しつつなくなった人が 多いことはたぶんいまさらここに書くことで もないと想います テレビを視聴していて名経営者のエピソー ドを拝聴することができましたが、ライバル のことを気にしたとたん、そいつは終わりに なるというフレーズがとても耳に残りました 経営者とは最終的な顧客の利便と利益を常 に考えていなくてはならない、逆にそれ以外 のことはすべて事務員や外注で代替が可能な のだ 顧客を忘れて、利益やライバルとの差別化 にまい進する奴は、馬鹿だ とも。 このファイルのドキュメントを書いていて、 一年近くが経った、今日つい先日のこの台詞 がとても適切だとおもったのでここに書くこ とにします 団塊の世代は、すくなくとも勤勉さのうえ では怠惰ではなかったことはもちろんですが、 そのときには涙ぐましい努力がはたして方向 性としてつねに正しかったかどうか、という ことはそろそろ歴史の点検がなされるべきと きかもしれません 業界全体を批評すれば少なくとも悪者を作 ることは避けることができるかもしれないの で、そういう表現にしますが、 たとえばニッチ業態ではじまったコンビニ とネット業界を（それがなぜニッチかという と、それがなくとも基本的にはだれも困らな いからです。それはあくまで「あればいいな」 であって「なけりゃこまる」ではありません） 批評するとします そのような業態は２次ビジネスであって、 １次ビジネスではありません かならずしも必須ではない業態が伸びてい くことは顧客と企業が役割を代えながら緊張 感を持ったおなじ力の動輪として循環してい く構図から見れば、不健康なものです 具体的には、コンビニの御飯ばかり食べて いれば、健康のために料理を工夫することを 忘れるでしょうし、 携帯やネットで緊張感のガス抜きばかりし ていれば、自分の将来のために刻苦勉励する エネルギーと圧力は、残らないでしょう これは、長期的にはクライアント破壊につ ながります 業界は、今日の売上にめがくらんで、自分 の客である青少年を破壊することによりかれ らが自給８００円しか稼げないおとなにする ことによってみすみす長期的には将来の売上 を失うことになるのです その意味で、過剰サービスとはアヘンであ って産業ではありません 機能が過剰な家電が、供給者側の論理であ って購買者の立場にたっていないがゆえに、 機能をぐっと絞った海外勢のシンプルな製品 に駆逐されてしまった構図とおなじことかも しれません メディアの世界でもおなじような現象が起 こるようで、たとえば攻略にのべ４０時間も かかるようなゲームをつくったとします、 ゲーム漬けになった青年はしばしば外に出 なくなりますが、 「では、その青年はそのゲームを買う金を、 いつ稼ぐの？」ということになります 勤務が自由に選べるフリーターや親に庇護 されているニートである生活を若いうちに長 く過ごしていては、かれらは仕事が身につい ていない大人になるでしょう 満足に働けないかれらから、長期的に売上 をいただくことができるでしょうか 実はこのようなことは例えば漫画の世界に もおこっていたことであって、供給側の論理 は青年や大人にまで漫画雑誌を読ませようと かつてはしていました しかし漫画漬けで青春を育つと、自分でも のを考えることができない大人が出来上がり ます 供給側の論理は、読者の中央でもっとも祝 福された子供を１８歳で一本釣りして、培養 液のなかで何万倍にもクローニングして、幸 福なしかし閉鎖的な箱庭を読者にアンプルと して供給するのです 連載打ち切りのあかつきには、手に職のな い失業者が路頭に迷うことになりますがそれ は 「だまされたあんたがわるいんじゃないの？」 と供給側はいうことでしょう 女子供を狙え、とはテキヤの論理ですね 実は「卒業」後、精神を病む漫画家さんは 少なくはなく、この事情は芸能界とそっくり です それもそのはず、実は出版の実需と言うも のは現在の規模から比べたら実は１０分の一 程度にすぎないのに、これだけの大きさをも っているのは、経済成長に伴って芸能出版と しておおきくみずぶくれした結果なのでした 現在、街の本屋さんが倒産しているのは、 業界が蜃気楼だったからです また読者の側に立てば、 漫画は受け身の娯楽としては手軽ですが、 苦悩やあこがれを整理する場所は、結局は日 記のうえの文字でしかないのです 活字は、かつてはそのような若き悩みをあ る程度案内する役割で読まれていました その意味では、現代ではワープロをもっと 活用すべきなのかもしれません 余談ですが、現在ではワープロはコンピュ ータの上のソフトですが、現在のコンピュー タは起動が遅すぎることは、おそらく全人類 の一つの損失です その意味では人類の幸福の意味では、テキ スト入力に特化したキーボード式手帳が価値 があることはまずまちがいありません （社会が健康になれば政府の歳出も多少は減 るかもしれません 職業訓練や痩身運動をを税金予算の中から 出すのであれば、政府は破壊型産業に文句を 言う権利があるはずです ゲーム業界はアミューズメントパークのノ ウハウを通じてフィットネス事業に力をいれ なければならなくなるでしょう） その意味で過剰な表現という媚や安易なシ リーズ化という顧客愚弄を拒否して原点にこ だわりつづけたひとは昔は少なくなかったよ うな気がします 件の氏はあくまで自分の読者は児童だと言 うことにこだわっていた気がします 氏のプロダクションは晩年子供向けの入門 書のシリーズをかず多く執筆していました もちろんプロダクションの職員に給料を払 う必要にやまれてだったのかもしれませんが。 レミニスケートのグラフの形は交番のおま わりさんの顔です 「これでいいのだ。」とは植木職人の言葉で す。 鼻毛miyama. ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー