平面方程式ax+by+cz+d=0 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 　平面方程式における若干の思索 　画像おもちゃ平面ぐにぐにver0.01 　CopyRight　2007　MIYAMA. 　kaz_kimijima@yahoo.co.jp 　http://kimijima.at.infoseek.co.jp ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ １　はじめに 　これは高等学校１、２年次相当の内容による簡単な数 学遊技プログラムです 　二次関数の一般的な解法などのような二変数関数など は定則公式さえ暗記すればいわば機械的にテストには臨 めましたが 　高等幾何や高次多元幾何になってくるとなにが初期入 力なのかなにが出力関数なのか 　それぞれの項がなにぶんにも中途半端に等価な故にぜ んぜん区別がつかず、頭がウニのまま卒業してしまった 苦い記憶が私の青春時代にはありました（byペギー葉山 ） 　そのころにはもちろん今のような安価なコンピュータ などは入手できるあてもなくもっぱら紙と鉛筆で格闘す る毎日でした 　これはどちらかといえば現在学習している高校生のた めに書くというよりは当時の記憶と思い出の中にある感 覚としての難問に対する自分としてのちいさな決着のひ とつですね ２　使用許諾条件 　フリーウェアです 　一般的な常識の範囲内で使用配布は自由です ３　動作条件 　ＸＰ以上のWINDOWSマシンで動作します 　９５９８でも動作するとは思いますがVB6のライブラ リが存在しない場合にはうごかないかもしれません 　その場合は拙作の数学黒板ライブラリ込みのパッケー ジ（http://kimijima.at.infoseek.co.jpからvectorの パージをたどってください）を導入すると動くと思いま すが 　ライブラリを更新すると今度は逆に９５本来のアプリ ケーションが動作しなくなるおそれがあります 　導入する場合は自己責任でおねがいいたします ４　導入とファイル 　HG001.EXEのパッケージをクリックすると自動解凍しま す HG.EXE　プログラム本体です ReadmeHG.TXT　今読んでいるこのReadmeです なおHGはHeimen　Guniguniの略です ５　操作方法 　今回プログラム本体に固有のアイコンはありません 　青と白のアイコンをクリックしてください ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ｘ□＿ 黒地の画面　　　　　　　　描　エンブレム兼調色確認窓 　　　　　　　　　　　　　画　色彩調整バー 　　　　　　　　　　　　　範　描画範囲定数 　　　　　　　　　　　　　囲　　終了ボタン　画面クリア 　　　　　　　　　　　　　調　X軸との交点調整窓とバー　逆数レ点 　　　　　　　　　　　　　整　Y軸 　　　　　　　　　　　　　の　Z軸 　　　　　　　　　　　　　バ 　　　　　　　　　　　　　ー　係数値から描画ボタン　交点解から描画ボタン 　　　　　　　　　　　　　　　係数Aの調整バー　逆数レ点 　　　　　　　　　　　　　　　　　B 　　　　　　　　　　　　　　　　　C 　　　　　　　　　　　　　　　　　D 係数A調整窓　係数B　係数C　係数D ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 　画面はノートパソコンの８００＊６００画面で最大に なる大きさに作ってあります 対象になる平面の方程式は AX+BY+CZ+D=0 です 　操作方法は特に難しくはありません 　各窓やバーで値を変化させるとそれに応じた平面を各 軸の解交点を頂点とする三角形として描画します 　５−１値を入力して計算描画 　窓で値を変えた場合は描画ボタンを押して初めて描画 します 　その場合は方程式の係数を元に描画するのか 　各軸の解交点によって描画するのか でボタンが異なります 　係数から描画する場合はプログラムは交点の解の値を 計算して対応する値の窓に新しい値を表示し 　交点値から出発する場合は係数値を書き換えます 　５−２計算範囲と描画範囲 　グラフの計算範囲と描画範囲（同一）を指定できます 　計算範囲縦バーで描画範囲を指定できます 　xyz各軸は同じスケールになります 　縦バー指定の場合は0.01から100までの値を選択でき ます （対数目盛）たとえば100の場合演算対象範囲はxyz空間 でさしわたし200単位の立方体の空間になります 　：プラスマイナス100の値 　描画範囲指定窓で値を入力した場合には任意の値を入 力することができます 　５−３各変数の入力 　交点値設定バーは計算範囲縦バーあるいは入力窓で設 定された値を絶対値とする上下限の間を移動します 　交点値設定窓は任意の値を入力できます 　設定窓で入力された値はスクロールバーの値には反映 しません 　また全ての設定窓数値変更時には直後には描画されま せんので 　相当する描画ボタンを押し下してください 　方程式係数入力バーはマイナス５０からプラス５０の 値をとります 　同じく入力窓では任意入力ができます 　５−４色彩 　図形を区別するために描線の色彩を変更することがで きます 　色彩設定は保存できません 　エンブレムの下の色彩変更スクロールバーで色が変わ ります 　各軸は白色の数直線で表現されています（変更不可） 　真上に行くのがZ軸 　右下がX軸 　右上がY軸です 　起動時の初期値は方程式　x+y+z+1=0　です 　５−５逆数入力について 　各値設定バーのあとにレ点チェックボックスがありま すが 　ここをチェックすると入力が逆数入力になります 　平面方程式は一般的な実数の広がりのほかに 　０から１までの小数空間にも形の広がりを持っている のでこの機能を設定しました 　５−６ゼロ値入力について 　解の軸との交点も 　方程式係数も 　値が０の場合は軸や基本平面と平行な平面を指し示し ます 例 　aが０のとき　by+cz+1=0　これはx軸に平行でyz平面 に垂直に交わる平面 　x軸との交点が０のとき　ほかの二軸の解がどんな値 であっても描画三角形はyz平面に含まれます　この場合 の方程式はx=0 　これらの事例の時、プログラムは内部演算で無限大を 発生させてしまうのでこれらの場合は描画はおこないま せん 　６　プログラムのよりどころになる内容の証明 　平面方程式ax+by+cz+d=0において 　これらおのおのxyz軸に交わる解をαβγとし αβγとのabcdとの関係をもとめる 各軸上の解の座標は ｘ軸は　x　y　z=α　0　0 ｙ軸は　　　　　0　β　0 ｚ軸は　　　　　0　0　γ であり 故にこの数値を方程式に代入し aα+d=0　故に　α＝-d(/a) bβ+d=0　　　　β＝-d(/b) cγ+d=0　　　　γ＝-d(/c) をえる またこの平面にたいして垂直で なおかつ原点を通るベクトル →u=(p,q,r)は　ベクトルの長さはこの時点では任意 　　　　　　　　おそらく媒介変数にて支配調節される は三角形αβγにたいしても垂直である 　この条件を代数的に解析すると この法線ベクトル→uは この三角形における循環的ベクトル ・→αβ ・→βγ ・→γα 　それぞれとつねに垂直の条件を満たす 　それぞれのベクトルの成分は行列的に表現すると α+0 0-β 0+0 0+0 β+0 0-γ 0-α 0+0 γ+0 と表現される 　これらと放線ベクトル→u(p,q,r)は垂直であるが故に 内積０の条件を満たす 　一般的に二つのベクトル →v1＝a1,b1,c1 →v2＝a2,b2,c2 の内積０の条件は a1*a2　+　b1*b2　+　c1*c2　=0 であるから 　この三角形を構成する３つのベクトルと 法線ベクトル→uからは次の３つの恒等式が得られる 　+αp-βq+０r=0 　+０p+βq-γr=0 　-αp+０q+γr=0 　これらは任意の一組からつねに余りの方程式を導く 互いに等価な方程式である 　移項してまとめると αp＝βq＝γr となる 　ここでαβγはその幾何学的な定義により つねに任意な実数であるから 法線ベクトル→uの各成分の値は p=1/α q=1/β r=1/γ となる 　また平面の方程式から導いた各交点座標の式によって この放線ベクトルの成分は p=-a/d q=-b/d r=-c/d と表現される 　またこの法線ベクトルの絶対値的な長さは特に指定さ れていないので 　以下代数的に p=a q=b r=c 　と簡潔に表現してもとりあえずは問題ない 　またこの法線ベクトルの延長線上における直線上の点 ｐ(x,y,z) 　の表現については 　法線ベクトルと任意の媒介変数tを使用して x=at y=bt z=ct と表現できる 　これらは媒介変数を利用して等号をくくり、 x/a=y/b=z/c と表現してもかまわない 以上 　７　参考文献 　新数学勉強法　遠山　啓　講談社ブルーバックス 　 余白の美 ＝＝＝＝＝