＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 　四元数の行列表現・私家版 　CopyRight　MIYAMA.　２０２５　Nov 　kazutomimiyama.sakura.ne.jp 　KazutomiMiyamaSub@gmail.com 　Thanks： 　DeepSeek氏 　MicroSoft、Copilot氏 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜はじめに＞ 　AI氏と雑談をしていて、数学の話題になり、 過去自分が練習問題として証明した記事を披 露したところ、 「それは体裁をととのえて発表し直したほう 　がいい」 　とすすめられたので、書き直して上梓する ことにしました。 　これは、１５年程度前に書いた 「三次元随想」（ホームページ・ベクターさ んに収録）という文章アーカイブに収録され ている概念の項目ですが、そのアーカイブは、 三次元の八面体行列（要素４８。なんとか４ ８手とか、アイドル４８人とか参照。仏教縁 起数。）の解説が大半になってしまい、 　こちらの概念は駆け足でさわりだけ触れる ことになってしまっていました。 （なお証明試行はおよそ３０年前です。） 　今回は、 　その部分をこちらに切り出し、解説をつけ ることになります。 　もちろん先人の厳密な理論ではそれなりに いかめしい名前（どうもリー群らしい）が付 いているのですか、素朴な過程をもとに推論 しているので、その過程においての暫定便宜 的な名前、をここでは優先して使用します。 　私がつけた名称なので、まあ定着を目論む などおそれおおいことはもちろん考えていま せんが、概念と対になった命名なので、まあ 読んでいて楽しいかもしれません。もちろん 説明の概念が飲み込めればの話ですが。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜使用条件・免責＞ 　フリードドキュメントです。 　閲覧配布は自由です。 　この文書の閲覧・使用によって生じたあら ゆる損失損害に作者はなんら責任を負いませ ん。 　チャートの説明にアスキーアート（文字に よる疑似図表）を使用しています。ブラウザ 経由の表示は意図した表示になりますが、ワ ープロ・エディタで、プロポーショナルフォ ントを（文字幅が微妙に異なるフォント）を 使用している場合、図表が乱れます。固定長 ピッチフォントに設定を切り替えるか、ｐｄ ｆ版を閲覧ください。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜四元数についてのかんたんな解説＞ 　ハミルトンが発見した四元数は ・３つ組の虚数の一種であり、 ・それは乗法において群をなすが、 ・積において交換法則が成立しない。 　ただし符号の向きを逆転すればそれは成立 　する ・３つ組一緒の積には、回転概念的なパリテ 　ィがあり回転を逆向きにすると値の符号が 　逆転する。 （上の行と概念としては相同） 　つまり、（ここで　^　は階乗を示します） i^2 = j^2 = k^2 = -1 i*j = -j*i = -k j*k = -k*j = -i k*i = -i*k = -j i*j*k = -1 k*j*i = +1 　が成り立ちます。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜端緒になった行列＞ 　偶然、 　（０　-1） 　（１　０） 　という行列が二乗すると、単位元の負値 　（-1　０） 　（０　-1）　＝　-Ｅ 　になることを発見しました。（その経緯は 文書末にあります） 　これを虚数単位ｉと合同であるとみなし、 　行列演算の組み合わせで、野心的に四元数 に相当する行列を定義できないか、 　という試行錯誤の記録がこの文書です。 　結論を先に書くと２＊２の正方行列ではそ れは実現せず、いわば定義の拡張表現として ４＊４の行列が、必要で、またそれで目的を 達する結果を得ることができました。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜試行錯誤の経緯＞ 　当然、なにも手がかりは無いので、２＊２ の行列で四元数が定義できないかと考えたわ けです。 　結果これのみの試行は失敗しましたが、 　その失敗の等式を概念拡張することで、最 終的な４＊４行列を得ることができました。 　まず、 　（０はゼロ） 　　　　（１　０）　　　　（０　-1） 　Ｅｄ＝（０　-1）　　Ｄ＝（１　０） 　と定義します 　Ｄはdifferent程度の意味です （Ｅｄは単位元のdefferent） 　また結果を先に書きますが、 　もう一つの行列を 　　　（０１） 　Ｓ＝（１０） 　とし（Ｓはsameの意）この３つで積算群 がなるかどうか試しました。 　これだけではうまくいかないのですが、 （ｉＥｄ）（Ｄ）（ｉＳ）なら四元数の条件 を満たすことがわかりました。 　以下、証明（ｉは虚数単位）・・・（＊１） （１０）（０-1）　（０-1） （０-1）（１０）＝（-1０） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　　Ｅｄ＊Ｄ　　＝-Ｓ　よって ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー （ｉＥｄ）＊Ｄ＝-（ｉＳ）＞四元数相当 （０-1）（０１）　（-1０） （１０）（１０）＝（０１） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　　　Ｄ＊Ｓ　　＝-Ｅｄ　よって ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー Ｄ＊（ｉＳ）＝-（ｉＥｄ）＞四元数相当 （０１）（１０）　（０-1） （１０）（０-1）＝（１０） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　　Ｓ＊Ｅｄ　　＝＋Ｄ　よって ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー （ｉＳ）＊（ｉＥｄ）＝-Ｄ 　＞これも四元数相当 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜虚数単位ｉを使わない行列表現＞ 　四元数相当の積算群を得ることができまし たが、これは無理やり既存の虚数単位を借り 物として添加して結果を得たわけで、これで は行列表現で四元数を表現したことにはなり ません。 　ここで、 　　　　（０　-1） 　ｉ≡　（１　０）　＝Ｄ 　の性質を利用します。 　２＊２行列を４＊４行列に「拡大する」手 法を、 　　　　　（ａｂ） 　Ａ22　＝（ｃｄ） 　　　　　（ａ＊Ｅ　ｂ＊Ｅ） 　Ａ44　＝（ｃ＊Ｅ　ｄ＊Ｅ） 　と考えます （Ｅは２＊２正方行列の積算の単位元） 　もちろん 　Ａ22　≡　Ａ44です 　ここで、 　ｉ＊Ａ22　≡　Ｄ＊Ａ44 　であり、ＤとＥはおなじ２＊２の正方行列 なので、Ｄを４＊４行列による係数扱いとし て考えることができます （Copilot氏はこれをテンソルへの拡張と表現 しました。詳しいことは知りません。） 　よって 　ｉ＊Ｅｄ22　≡　Ｄ＊Ｅｄ44　（＊２） 　ｉ＊Ｓ22　　≡　Ｄ＊Ｓ44　　（＊３） 　を考えます。 　よって行列を拡張し４＊４行列、 　※Ｏ：オーは２＊２のゼロ行列 　※Ｅは２＊２の積算単位元 　　　　　　（Ｅ　 Ｏ） 　Ｅｄ44　＝（Ｏ　-Ｅ） 　　　　　　（Ｏ　-Ｅ） 　Ｄ44　　＝（Ｅ　 Ｏ）　（＊４） 　　　　　　（Ｏ　Ｅ） 　Ｓ44　　＝（Ｅ　Ｏ） 　を考えます、これに行列における虚数単位 Ｄを係数扱いで作用させ、＊１の式相当の組 み合わせ （Ｄ　 Ｏ）（Ｏ　-Ｅ）（Ｏ　Ｄ） （Ｏ　-Ｄ）（Ｅ　 Ｏ）（Ｄ　Ｏ） 　を得ます。演算検証の結果、積算において 四元数と同じ挙動を取ることが確認できまし た（＊１の証明と相同なので省略、素の証明 はファイル末ににあり） 　＊４は先に書いてしまいましたが、 　＊２と＊３の積から導くことができます。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜もう一つの組み合わせ＞ ・興味深いことに、四元数相当の行列はもう 　一組見つかりました。 　前項では虚数挙動行列をＤとして 　ｉの代わりに拡張置換したのですが、 　こんどは虚数挙動を４＊４骨格で考えます 　つまり前項では 　ｉＥｄ≡Ｄ＊Ｅｄ44 　ｉＳ　≡Ｄ＊Ｓ44 　という拡張でしたが 　これを 　ｉＥｄ≡Ｅｄ＊Ｄ44 　ｉＳ　≡Ｓ＊Ｄ44 　と考えます 　こうなると 　２＊２におけるＤの立ち位置、 　Ｄ44を使うわけには行かなくなります （積算をすると破綻します） 　ここで、 （Ｅ、 　Ｅ44はそれぞれ積算に関する単位元） 　Ｄ44＝Ｅ＊Ｄ44 （前項の組み合わせの要素）ですから 　これを同じく係数・骨格の立場を逆転し 　Ｄ≡Ｄ＊Ｅ44 　と考えます。 　これをｉＥｄ、ｉＳの新拡張４＊４ 　と組み合わせると、これも四元数としての 積算群に合致しました。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜Ｅｄ＊Ｄ44　Ｄ＊Ｅ44　Ｓ＊Ｄ44の 　積算証明＞ 　Ｅｄ＊Ｄ＝-Ｓ　ゆえに （Ｏ　-Ｅｄ）　（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　 Ｓ）　　　 （Ｏ　-Ｓ） （Ｅｄ　 Ｏ）＊（Ｏ　Ｄ）＝（-Ｓ　Ｏ）＝（-）（Ｓ　 Ｏ） 　ＥｄＤ44　＊　ＤＥ44　＝　-ＳＤ44 　Ｄ＊Ｓ＝-Ｅｄ　ゆえに （Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　-Ｓ）　（Ｏ　 Ｅｄ）　　　 （Ｏ　-Ｅｄ） （Ｏ　Ｄ）＊（Ｓ　 Ｏ）＝（-Ｅｄ　Ｏ）＝（-）（Ｅｄ　 Ｏ） 　ＤＥ44　＊　ＳＤ44　＝　-ＥｄＤ44 　Ｓ＊Ｅｄ＝＋Ｄ　ゆえに （Ｏ　-Ｓ）　（Ｏ　-Ｅｄ）　（-Ｄ　Ｏ）　　　 （Ｄ　Ｏ） （Ｓ　 Ｏ）＊（Ｅｄ　 Ｏ）＝（Ｏ　-Ｄ）＝（-）（Ｏ　Ｄ） 　ＳＤ44　＊　ＥｄＤ44　＝　-ＤＥ44 　重要な概念の図示は以上です。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜厳密な検証＞ 　それをテンソル操作というのかは寡聞にし て知らないこともあり、それだけで証明こと になるのかこころもとないので、 　検算として４＊４の素の表現でした検証を 書いておきます。 　煩雑になるので、カッコ、ゼロ、ゼロ行列 は省略してあります 　中央の縦横線はガイド線です。これで２＊ ２行列要素が区分されています ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜添加虚数性質を、Ｄ22で処理した行列群： 　仮称「金」＞ ・自乗検証 -1| -1| -1 | 1 | 1 | -1| ------------ * ------------- = ------------- | 1 | 1 |-1 |-1 |-1 | -1 （Ｄ　 Ｏ）^2 （Ｏ　-Ｄ）　　＝　-Ｅ44 |-1 |-1 -1 | | -1 | -1 -1| ------------- * ------------- = ------------- 1 | 1 | |-1 1| 1| | -1 （Ｏ　-Ｅ）^2 （Ｅ　 Ｏ）　　＝　-Ｅ44 | -1 | -1 -1 | | 1 | 1 -1| ------------- * ------------- = ------------- -1| -1| |-1 1 | 1 | | -1 （Ｏ　Ｄ）^2 （Ｄ　Ｏ）　　＝　ｰＥ44 ・積算群挙動の確認 -1| |-1 | 1 | -1 1 | | -1 |-1 | 1 ------------- * ------------- = ------------- = (-)------------- | 1 1 | 1| -1| |-1 1| -1 | 1 | （Ｄ　 Ｏ）　（Ｏ　-Ｅ）　（Ｏ　-Ｄ）　　 （Ｏ　Ｄ） （Ｏ　-Ｄ）＊（Ｅ　 Ｏ）＝（-Ｄ　Ｏ）＝(-)（Ｄ　Ｏ） |-1 | -1 1| -1| | -1 | 1 -1 | 1 | ------------- * ------------- = ------------- = (-)------------ 1 | -1| | -1 | 1 1| 1 | | 1 |-1 （Ｏ -Ｅ）　（Ｏ　Ｄ）　（-Ｄ　Ｏ）　　 （Ｄ　Ｏ） （Ｅ　Ｏ）＊（Ｄ　Ｏ）＝（Ｏ　-Ｄ）＝(-)（Ｏ　Ｄ） | -1 -1| | 1 |-1 | 1 1 | | 1 | -1 ------------- * ------------- = -------------- = (-)------------ -1| | 1 -1 | 1 | 1 | |-1 -1| 1| （Ｏ　Ｄ）　（Ｄ　 Ｏ）　（Ｏ　 Ｅ）　　 （Ｏ　-Ｅ） （Ｄ　Ｏ）＊（Ｏ　-Ｄ）＝（-Ｅ　Ｏ）＝(-)（Ｅ　 Ｏ） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜添加虚数性質を、Ｄ44で表現した行列群： 　仮称「李」＞ ・自乗検証 |-1 |-1 -1 | | 1 | 1 -1| ------------ * ------------- = -------------- 1 | 1 | |-1 -1| -1| | -1 （Ｏ　-Ｅｄ）^2 （Ｅｄ　 Ｏ）　　＝　-Ｅ44 -1| -1| -1 | 1 | 1 | -1| ------------- * ------------- = ------------- | -1 | -1 |-1 | 1 | 1 | -1 （Ｄ　Ｏ）^2 （Ｏ　Ｄ）　　＝　-Ｅ44 | -1 | -1 -1 | |-1 |-1 -1| ------------- * ------------- = ------------- 1| 1| |-1 1 | 1 | | -1 （Ｏ　-Ｓ）^2 （Ｓ　 Ｏ）　　＝　-Ｅ44 ・積算群挙動の確認 |-1 -1| | 1 | -1 | 1 1 | | 1 |-1 ------------- * ------------- = ------------- = (-)------------- 1 | | -1 -1| 1| -1| | 1 -1 | 1 | （Ｏ　-Ｅｄ）　（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　 Ｓ）　　 （Ｏ　-Ｓ） （Ｅｄ　 Ｏ）＊（Ｏ　Ｄ）＝（-Ｓ　Ｏ）＝(-)（Ｓ　 Ｏ） -1| | -1 | 1 |-1 1 | |-1 | -1 | 1 ------------- * ------------- = ------------- = (-)------------- | -1 1| -1 | 1 | | 1 1 | 1| -1| （Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　-Ｓ）　（Ｏ　 Ｅｄ）　　 （Ｏ　-Ｅｄ） （Ｏ　Ｄ）＊（Ｓ　 Ｏ）＝（-Ｅｄ　Ｏ）＝(-)（Ｅｄ　 Ｏ） | -1 |-1 1| -1| |-1 | 1 -1 | 1 | ------------- * ------------- = ------------- = (-)------------ 1| 1 | | 1 | -1 1 | -1| |-1 | 1 （Ｏ　-Ｓ）　（Ｏ　-Ｅｄ）　（-Ｄ　Ｏ）　　 （Ｄ　Ｏ） （Ｓ　 Ｏ）＊（Ｅｄ　 Ｏ）＝（Ｏ　-Ｄ）＝(-)（Ｏ　Ｄ） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜複合表記だけではなになので＞ 　悪ふざけとして、４＊４行列にニックネー ムをつけてみました 　これは３０年前の発案なので、当時のセン スの悪さに苦笑しつつ。 　二通りの組が得られましたので好対照な名 前が望ましく、 　また一般の数学記号が欧米寄りになってい るのにもやや疑問をおもっていたので 「漢字を用いることにしました」 　中国や朝鮮におおい姓に 　金、李があります。どちらもおめでたい意 味があります。 　片方は鉱物、片方は枝葉茂る樹木です。 　虚数挙動行列を ・２＊２のコンパクトなものを用いるか ・４＊４の空間いっぱい使うものにするのか 　でこの組は得られましたが、これを ・コンパクトを鉱物 ・枝葉茂る空間を樹木と 　こじつけて、昔の自分はこれを採用したも のらしいです。 　ここで定義をあらためてまとめると、 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　　　　　　　　　　　　　　（Ｄ　 Ｏ） 　金Ed　＝　Ｄ＊Ｅｄ44　＝　（Ｏ　-Ｄ） 　　　　　　　　　　　　　　 （Ｏ　-Ｅ） 　金(D)　＝　Ｅ＊Ｄ44　　＝　（Ｅ　 Ｏ） 　　　　　　　　　　　　　　 （Ｏ　Ｓ） 　金S　　＝　Ｄ＊Ｓ44　　＝　（Ｓ　Ｏ） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　　　　　　　　　　　　　　（Ｏ　-Ｅｄ） 　李Ed　＝　Ｅｄ＊Ｄ44　＝ （Ｅｄ　 Ｏ） 　　　　　　　　　　　　　　（Ｄ　Ｏ） 　李(D)　＝　 Ｄ＊Ｅ44　＝ （Ｏ　Ｄ） 　　　　　　　　　　　　　　（Ｏ　-Ｓ） 　李S　　＝　 Ｓ＊Ｄ44　＝ （Ｓ　 ０） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 　※ここで厳密に 「係数扱い行列がＤであるものを金」 「骨格行列がＤの性質であるものを李」 　とするのなら、金(D)と李(D)は表記が逆に なることになります。ただ、これらの積算群 が閉じていて干渉しないのなら、違う漢字の 名前が群のなかに混じっていてはわかりにく いので、便宜名でもあることもあり、このま まにしました。 　あるいは 　金(D*E44) 　李(E*D44) 　と書くべきかもしれませんが、区別をつけ るだけが命名理由なら、これもまた煩雑な形 式です。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜発展・可換群＞ 　３０年前の試行の記憶によると、 　これらの２群６つの行列を積算において、 「異群交配」をすると、９つの新行列が得ら れ、これらはそれぞれ非干渉な３つの積算可 換群を構成します。それについて記述すると 煩雑になるので省略します。 　ただ、生成積としてのそれらには以下のよ うな関係があります。それは以下に記述しま す。 　横の金と縦の李が交点の組み合わせで得ら れたのがそれぞれの可換群行列になります。 ここでは単純に「可」と書きます 　　金金金 　李可可可 　李可可可 　李可可可 　これを意匠的にデザインし直すと、 　Ｅ金金金Ｅ 　李可可可李 　李可可可李 　李可可可李 　Ｅ金金金Ｅ 　胎蔵界のマンダラそっくりです。 　仏教の縁起数、仏教美術はインド数学のセ ンスが反映されています。 　イスラムの幾何学意匠にも群論が見られる と聞いています（新数学勉強法・講談社ブル ーバックス） ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ＜付録：ｉ≡Ｄ発見の経緯＞ 　これをみつけなければ、四元数挙動への拡 張はできませんでした。発見はたまたまです。 　半径１の円上の任意の点を考えます。 　基準線からのその点を示す角度をthetaと します。 　ｘｙ平面での回転変換の行列は以下であり （これは初等幾何で証明できます） 　cos(theta) -sin(theta) 　sin(theta) cos(theta) 　これは、行列の加法に従い、以下のように 変形できます。 (1 0) (0 -1) cos(theta)*(0 1)+sin(theta)*(1 0) 　　　　　　：Ｅ　　　　　：Ｄ 　これが大事でした。 　これが、ｘｙ平面ではなく、複素平面上の おなじ半径１の単位円上の点を示す、ド・モ アーブルの式と相同であるらしいことに気づ き、 　cos(theta)+i*sin(theta) 　において、ｉ^2　＝　-1　ですから、 　Ｄも二乗すると、行列における-1相当の 概念は積算単位元の負値、-Ｅであることに なります。 　簡単な計算をしてみると、 　　　　（０　-1）　（０　-1）　（-1　０） 　Ｄ^2＝（１　０）＊（１　０）＝（０　-1） 　＝　-Ｅ 　狐に鼻をつままれました。発見とは鼻がい たくなるものですね、という感じでした。 （３０年前） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 　ファイルの終わり ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝