＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 円における、 内接・外接多角形の長さにおける練習 Copy_Right Miyama. ２０２６February kazutomi,miyama.sakura.ne.jp KazutomiMiyamaSub@gmail.com ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ＜はじめに・免責＞ 数学の問題を調べているうちにこの概念の 整頓が必要なことに気づき、練習の思考を備 忘録として発表するものです。 この文書を閲覧配布することにより生じた あらゆる不利益に対して作者は何らの責任を 負わないこととします。 フリードキュメントです、閲覧配布は自由 です。 ＊ 円周率を幾何手法にて極限にてもとめる、 古来よりの手法として円が内接・外接する正 多角形を考え、その挟み込み極限として円弧 の長さを求める概念があります。 ここでは、θ＝２π/ｎ における自然数ｎ （正ｎ角形に対応）を便宜的に正の実数と考 え、その三角関数を用いて、 内接外接それぞれの多角形の辺の長さを考 えるものです。もちろんその一辺の長さのｎ 倍がその多角形の外周の長さになります。 数学的には同等ですが、出発点として二通 りの方法が考えられます。扇型の角をθとし て ・cosθを用いるもの ・tanθを用いるもの です。それぞれの代数整理について記しま す。 ・cosθを用いるもの 外接する多角形の一辺の長さをＴ、 内接する多角形の一辺の長さをｔ とおきます。
t の長さは 余弦定理により以下、ピタゴ ラスの定理により t^2 = sin^2 θ +(1-cosθ)^2 = sin^2 θ + cos^2 θ - 2*cosθ + 1 = 2 - 2*cosθ = 2(1-cosθ) ......(1) この辺の半径からなる平行四辺形を考える とき、その対角線の長さを s とすると、ピタ ゴラスの定理により t^2 s^2 1= --- + --- 4 4 4= t^2 + s^2 s^2 = 4-t^2 = 4-2(1-cosθ) = 2+2*cosθ = 2(1+cosθ) こじつければこれは平行四辺形の余弦定理。 ここで T の辺と t の辺は所属する三角 形により相同ですから s T:t = 1:--- 2 T 1 ---=----- t s --- 2 2 = --- s t T = 2*--- s 1-cosθ T^2 = 4*------ ......(2) 1+cosθ それぞれの式の長さを n 倍すれば多角形 の外周を求めることが出来ます。 ・tanθを用いるもの この場合は外接する多角形だけを考えます。 相関図が大きくなります。 図上の q の長さは多角形の辺の半分に相 当します。前図では図の中央で接していまし たが、これは左右両辺で接しています。 幾何的には同一ですので、 T q=--- 2 が証明できれば、上記の図と証明は 相同であることをになります
斜線影の直角三角形を考えます。 斜辺は cosθ の逆数で値が大きくなりま す。 これもピタゴラスの定理により 1 (----- -1)^2 + q^2 = (tanθ-q)^2 cosθ 1 1 sin^2 θ sinθ ------- -2*-----+1 +q^2 = ------- - 2*q*----- +q^2 cos^2 θ cosθ cos^2 θ cosθ q^2 を払い、 cos^2 θ で割って 1 -2*cosθ +cos^2 θ = sin^2 θ - 2*q*sinθcosθ = 1-cos^2 θ - 2*q*sinθcosθ 1 を左右相殺、 cosθ で割って -2 + cosθ = -cosθ -2*q*sinθ 2*(-1+cosθ)=-2*q*sinθ 1-cosθ ------ =q sinθ ※同一の証明であることを確認します。 (1-cosθ)^2 (1-cosθ)^2 (1-cosθ)^2 q^2=---------- = ---------- =----------------- sin^2 θ 1-cos^2 θ (1-cosθ)(1+cosθ) 1-cosθ T^2 =------- = --- 1+cosθ 4 0＜q,0＜T ゆえに T q=--- 2 ・証明終わり ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ ファイルの終わり ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝